Question

6．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．
（1）求∠D的度数；
（2）若CD=$\sqrt{2}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）先证明∠COD=2∠A，由∠D=2∠A，得∠D=∠COD，再根据切线的性质即可解决问题．
（2）根据△OCD是等腰直角三角形即可求出CO、OD，由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，∠COD=2∠A，
∵∠D=2∠A，
∠D=∠COD=45°，
（2）由（1）可知，∠D=∠COD，
∴CD=CO=AO=$\sqrt{2}$，∵∠OCD=90°，
∴OD=$\sqrt{O{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2+2}$=2，
∴AD=AO+OD=$\sqrt{2}$+2．

点评 本题考查切线的性质、等腰直角三角形的性质、圆的有关性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于基础题，中考常考题型．