Question

设a、b、c、d都是正整数，并且a⁵=b⁴，c³=d²，c-a=19，求d-b的值．

Answer 1

分析：根据已知a⁵=b⁴，c³=d²，得出a，b，c，d之间的关系，进而求出（

d

c

+

b2

a2

）（

d

c

-

b2

a2

）=19，进一步得出

d

c

=10，

b2

a2

=9，从而可以求出d-b的值．

解答：解：由a⁵=b⁴得：a=

b4

a4

=(

b2

a2

) 2，
由c³=d²得：c=

d2

c2

=（

d

c

）²；
代入c-a=19得
（

d

c

）²-(

b2

a2

) 2=19，
（

d

c

+

b2

a2

）（

d

c

-

b2

a2

）=19，
很明显，前一个括号的值大于后一个括号的，所以必有：

d

c

+

b2

a2

=19，

d

c

-

b2

a2

=1，
上面两式相加，整理得：

d

c

=10，即d=10c；
上面两式相减，整理得：

b2

a2

=9，即b²=9a²，
解得：b=3a．
因为d=10c，b=3a，a⁵=b⁴，c³=d²，
所以 c³=d²=（10c）²=100c²，
解得c=100，从而d=10c=1000；
由c-a=19，
得a=c-19=100-19=81，
从而b=243．
综上，d-b=1000-243=757．
故d-b的值为757．

点评：此题主要考查了整数问题的综合应用，由已知整理出a、b、c、d的关系，得出

d

c

+

b2

a2

=19，

d

c

-

b2

a2

=1，从而得出

d

c

=10，

b2

a2

=9，是解决问题的关键．