Question

3．如图，关于x的二次函数y=-x²+bx+c经过点B（1，0），点A（-3，0），与y轴相交于点C，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，在线段AC上方的抛物线上是否存在点F，使△FAC的面积最大，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若G是直线AC下方的抛物线上一点，且S_△AGC=2S_△ADC，求点G的坐标．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）如图2，作FQ∥y轴交AC于Q，先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，设F（x，-x²-2x+3），则Q（x，x+3），则可表示出FQ=-x²-3x，根据三角形面积公式得到S_△FAC=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x，然后利用二次函数的性质求解；
（3）先求出△ACD的面积，得出△AGC的面积是6，同（2）的方法建立方程求解即可得出点G的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c经过点B（1，0），点A（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3
（2）如图2，

作FQ∥y轴交AC于Q，
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（-3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+3，
设F（x，-x²-2x+3），（-3＜x＜0），
则Q（x，x+3），
∴FQ=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x，
∴S_△FAC=S_△AFQ+S_△CFQ=$\frac{1}{2}$•3•FQ=$\frac{3}{2}$•（-x²-3x）=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当x=-$\frac{3}{2}$时，△FAC的面积最大，此时F点坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；
（3）如图3，

由（2）直线AC的解析式为y=x+3，
∵直线DE的解析式为x=-1，
∴N（-1，2），D（-1，4），
∴DN=2
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•3•DN=3，
∵S_△AGC=2S_△ADC，
∴S_△AGC=6，
作GH∥y轴交AC于H，
设G（x，-x²-2x+3），（x＜-3或x＞0），
则H（x，x+3），
∴GH=（x+3）-（-x²-2x+3）=x²+3x，
∵无论x＜-3，还是x＞0，△AGH和△CGH的GH边上的高的差始终是3，
∴S_△GAC=S_△AGH-S_△CGH=$\frac{1}{2}$•3•GH=$\frac{3}{2}$•（x²+3x）=6，
∴x=-4或x=1，
∴G（-4，-5），或（1，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算方法，计算三角形面积的计算方法是解本题的关键．