Question

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D．

(1)求证：AC平分BAD；

(2)若AC＝2，CD＝2，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：

切线的性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。

专题：

计算题。

分析：

(1)连接OC，根据切线的性质判断出AD∥OC，得到∠DAC＝∠OCA，再根据OA＝OC得到∠OAC＝∠OCA，

可得AC平分∠BAD．

(2)连接BC，得到△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质即可求出AB的长．

解答：

解：(1)如图：连接OC，

∵DC切⊙O于C，

∴AD⊥CD，

∴∠ADC＝∠OCF＝90°，

∴AD∥OC，

∴∠DAC＝∠OCA，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

即AC平分∠BAD．

(2)连接BC．

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°＝∠ADC，

∵∠OAC＝∠OCA，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

在Rt△ADC中，AC＝2，CD＝2，

∴AD＝4，

∴，

∴AB＝5．

点评：

本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，是一道综合性较强的题目，作出相应辅助线是解题的关键．