Question

【题目】如图：在中，、分别平分与它的邻补角，

于，于，直线分别交、于、．

求证：四边形为矩形；

试猜想与的关系，并证明你的猜想；

如果四边形是菱形，试判断的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）且，证明详见解析；（3）是直角三角形，证明详见解析.

【解析】

（1）由AE⊥CE于E，AF⊥CF于F可得∠AEC=∠AFC=90°，再由，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，能证出∠ECF=90°，从而得证．
（2）由矩形的性质可证NE=NC，从而可代换出内错角相等，两直线平行，又因为N是AC的中点，由三角形中位线定理相应的推论可知M是AB的中点．
（3）求出∠ACE=∠EAC=45°，求出AE=CE，根据菱形的判定推出即可．

证明：∵于，于，

∴，

又∵、分别平分与它的邻补角，

∴，，

∴，

∴三个角为直角的四边形为矩形；

（2）且；

证明：∵四边形为矩形，

∴对角线相等且互相平分，

∴，

∴，

∴，

又∵（矩形的对角线相等且互相平分），

∴是的中位线，

∴；

解：是直角三角形，

理由是：∵，平分，平分，

∴，

∵四边形是矩形，

∴，

∴，

∴，

∵四边形是矩形，

∴四边形是菱形．