Question

如图．己知四边形ABCD中，AB∥DC，AB=DC，且AB=6cm，BC=8cm，对角线AC=l0cm．
（1）求证：四边形ABCD是矩形：
（2）若点E在对角线AC上，CE=4cm，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C止．设点P运动了x秒，请你探索：从运动开始，经过多少时间，以点E、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？请写出所有可能的结果．

Answer 1

【答案】分析：（1）先得出平行四边形ABCD，根据勾股定理的逆定理得出∠B=90°，根据矩形的判定推出即可；
（2）分为三种情况：①CE=CP，②EP=CE，③EP=PC，画出图形，求出即可．
解答：证明：（1）∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=6cm，BC=8cm，AC=l0cm，
∴AB²+BC²=100，AC²=100，
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：分为三种情况：①如图1，
当CE=CP=4cm时，
BP=8-4=4cm，
即t=4秒；
②如图2，
当PE=CE=4cm时，过E作EM⊥BC于M，
则AB∥EM，
∴=，
∴=，
∴CM=3.2（cm），
∵PE=CE，EM⊥CP，
∴PC=2CM=6.4cm，
∴BP=8cm-6.4cm=1.6cm，
∴t=1.6s；
③
如图3，当EP=CP时，过P作PN⊥AC于N，
则CN=CE=2，∠CNP=∠B=90°，
∵∠PCN=∠BCA，
∴△PCN∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴CP=2.5cm，
∴BP=8cm-2.5cm=5.5cm，
t=5.5s，
即从运动开始，经过4秒或1.6秒或5.5秒时，以点E、P、C为顶点的三角形是等腰三角形，即t=4秒或1.6秒或5.5秒
点评：本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理等知识点的应用，用了分类讨论思想．