题目内容
课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=| 3 |
（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=
| 3 |
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
分析：（1）如果：“∠B=∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B=∠D=90°，又因为∠DAC=∠BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=
AC，那么AD+AB=
AC．
（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．
| ||
| 2 |
| 3 |
（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF=BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．
解答：证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B=∠D，
∴∠B=∠D=90°，
∠CAD=∠CAB=
∠DAB=30°，
∵在△ADC中，cos30°=
，
在△ABC中，cos30°=
，
∴AB=
AC，AD=
AC．
∴AB+AD=
AC．
（2）由（1）知，AE+AF=
AC，
∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CE=CF．
而∠ABC与∠D互补，
∠ABC与∠CBE也互补，
∴∠D=∠CBE．
∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE．
∴DF=BE．
∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=
AC．
∴∠B=∠D=90°，
∠CAD=∠CAB=
| 1 |
| 2 |
∵在△ADC中，cos30°=
| AD |
| AC |
在△ABC中，cos30°=
| AB |
| AC |
∴AB=
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴AB+AD=
| 3 |
（2）由（1）知，AE+AF=
| 3 |
∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CE=CF．
而∠ABC与∠D互补，
∠ABC与∠CBE也互补，
∴∠D=∠CBE．
∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，
|
∴Rt△CDF≌Rt△CBE．
∴DF=BE．
∴AB+AD=AB+（AF+FD）=（AB+BE）+AF=AE+AF=
| 3 |
点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．
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