Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=1，对角线AC , BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交射线AD与射线CB于点E和点F，连接CE,AF．

(1)求证：四边形AECF是菱形．

(2)当点分别在边和上时，设，菱形的面积是，求关于的函数关系式．

(3)当是等腰三角形时，求的长度．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或.

【解析】

（1）由，推出EO=OF，又，推出四边形EBFD是平行四边形，再由即可证明四边形是菱形；
（2）由勾股定理表示出AC、AO的值，由cos∠DAC=，求出AE值，然后根据菱形的性质即可解决问题；
（3）分在线段延长线上时和在线段上时两种情形分别讨论求解即可；

(1)四边形是矩形，

, ， ，

在和中，

， ， 又，

四边形是平行四边形，且，

∴四边形是菱形；

(2)由题意得：，，

，

，

，

，

(3)①当在线段延长线上时，

为等腰三角形，

.

，

又，

，

解得；

②当在线段上时，

为等腰三角形，

，

，

，

在中,，

综上所述：或.