Question

【题目】如图，抛物线的图象经过点C(0，-2)，顶点D的坐标为（1，），与轴交于A、B两点.

（1）求抛物线的解析式.

（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值.

（3）点F（0，）是轴上一动点，当为何值时，的值最小.并求出这个最小值.

（4）点C关于轴的对称点为H，当取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）E，；（3）当时，有最小值为；（4）存在，点Q的坐标为或或或.

【解析】

（1）把C、D坐标代入二次函数解析式，列方程组求出a、c的值即可；（2）根据抛物线解析式可求出A、B两点坐标，即可求出AC、AB的长，设直线AC的解析式为：，把A、C坐标代入可求出k、b的值，可得直线AC的解析式，根据△AOC∽△AEB可得，可求出△AEB的面积，进而可求出，代入直线AC解析式可求出E点坐标，根据相似三角形的性质即可求出的值；（3）连接BF，过点F作FG⊥AC于G，可得FG=，可得当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE=∠ACO，利用∠ABE的余弦和正切求出BE的长和 的值即可；（4）可分如下三种情况：当点Q为直角顶点时（如图）：由（3）可知F点的坐标，根据点C与点H关于轴对称可求出点H坐标，设Q（1，），过点Q作QM轴于点M，可得Rt△QHM∽Rt△FQM，即可证明，即可求出m的值；当点H为直角顶点时，可得HQ//x轴，即可得出Q点坐标，当点F为直角顶点时，可得FQ//x轴，即可求出Q点坐标.

（1）∵的图象经过点C(0，-2)，顶点D的坐标为（1，），

∴，

解得：，

∴抛物线解析式为：.

（2）∵抛物线解析式为：.

∴当y=0时，=0，

解得：x1=-1，x2=3，

∴OA=1，OB=3，AB=4，

∵C（0，-2），

∴OC=2，

∴AC=，

设直线AC的解析式为：，则

解得：

∴直线AC的解析式为：

当△AOC∽△AEB时（如图）

∵

∴

∴，

即，

∴，

∴，

将代入，得，

∴E，

∵△AOC∽△AEB，

∴，

∴，

（3）如图，连接BF，过点F作FG⊥AC于G

则FG=，

∴，

当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，

由（2）可知∠ABE=∠ACO，

∴，

，

∴当时，有最小值为.

（4）可分如下三种情况：

①当点Q为直角顶点时（如图）：

由（3）得F，

∵C（0，-2），

∴H（0，2），

∵点Q在抛物线的对称轴上，

∴设Q（1，），

过点Q作QM轴于点M，

则Rt△QHM∽Rt△FQM，

∴，

∴，

即

∴Q（1，）或Q（1，），

②如图，当点H为直角顶点时：

∵∠FHQ=90°，

∴HQ//x轴，

∵H（0，2），Q点在抛物线对称轴上，

∴Q（1，2），

③如图，当点F为直角顶点时，

∵∠HFQ=90°，

∴FQ//x轴，

∵F（0，），Q点在抛物线对称轴上，

∴Q（1，）.

综上所述，点Q的坐标为或 或 或