Question

如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，小明在观察探究时发现：
①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2

10

+

2

；③△ABC的面积是5；
④点C到AB边的距离是

4

5

10

；⑤直线EF是线段BC的垂直平分线；
你认为小明观察的结论正确的序号有

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,三角形的面积,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的判定

专题：

分析：根据勾股定理求出AC、BC、AB长，即可判断①和②，求出AC边上的高，即可判断③，根据三角形面积公式即可判断④；证△MTD≌△BZC，推出∠ZBC=∠TMD，能求出EF⊥BC，根据等腰三角形性质即可求出CO=BO，即可判断⑤．

解答：解：∵由勾股定理得：AB=

12+32

=

10

，AC=

22+22

=2

2

，BC=

12+32

=

10

，
∴AB=BC，
∴△ABC的形状是等腰三角形，∴①正确；
△ABC的周长是

10

+

10

+2

2

=2

10

+2

2

，∴②错误；
连接BN，由勾股定理得：AN=CN，
在△BCN和△BAN中

BC=BA BN=BN CN=AN

∴△BCN≌△BAN，
∴∠BNC=∠BNA，
∵∠BNC+∠BNA=180°，
∴∠BNC=90°，
由勾股定理得：BN=

22+22

=2

2

，
∴△ABC的面积是

1

2

AC×BN=

1

2

×2

2

×2

2

=4，∴③错误；
设C到AB的距离是h，
由三角形面积公式得：4=

1

2

AB•h，
∵AB=

10

，
∴h=

4

5

10

，∴④正确；
在△MTD和△BZC中

DT=CZ ∠DTM=∠CZB TM=BZ

∴△MTD≌△BZC，
∴∠ZBC=∠TMD，
∵∠MTD=90°，
∴∠TDM+∠TMD=∠ZBC+∠BRO=90°，
∴∠ROB=90°，
∴EF⊥BC，
由勾股定理得：BM=CM，
∴CO=BO，即EF是线段BC的垂直平分线，∴⑤正确；
故答案为：①④⑤．

点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，此题比较好，综合性比较强．