Question

2．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用配方法求该抛物线的对称轴以及顶点D坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一动点P，使得△ACP的周长最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）利用配方法将（1）中的方程转化为顶点式，即可得到答案；
（3）由于A、B关于抛物线的对称轴对称，所以直线BC与抛物线对称轴的交点即为符合题意的P点，因此联立直线BC的解析式与抛物线对称轴方程即可得解．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{0=1-b+c}\\{0=9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
则该抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）由（1）知该抛物线的解析式为：y=x²-2x-3，
则y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
所以该抛物线的对称轴是x=1，顶点D坐标为（1，-4）．

（3）在抛物线的对称轴上存在一动点P，使得△ACP的周长最小．
∵点A、B关于对称轴对称，
∴连接BC交x=1于点P，即为所求的点．
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
把B（3，0），C（0，-3）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$．
则直线BC的解析式为y=x-3，
把x=1代入，得
y=1-3=-2，
所以点P的坐标是（1，-2）．

点评 本题考查了二次函数解析式的确定、轴对称图形的性质；（3）题中，充分理解轴对称图形的性质以及两点之间线段最短是解答题目的关键，该类型题在二次函数综合题中经常出现，需要牢固掌握．