题目内容
17．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，点D为BC的中点，动点P从点A出发，沿A→B→A的方向以1cm/s的速度运动，当回到点A时停止运动，连接PD．设点P的运功时间为t（s）．△BOP的面积为S（cm2）（这里规定：线段是面积为O的几何图形）．（1）求点D到AB的距离；
（2）求S与t之间的函数关系式；
（3）当PD∥AC时，求t的值；
（4）连结CP，若CP平分∠ACB，直接写出t的值．
分析 （1）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质进行解答即可；
（2）分①当0≤t≤5时，②当5＜t≤10时，两种情况进行解答即可；
（3）根据PD∥AC时，利用相似三角形的判定和性质解答即可；
（4）过点P作PF⊥BC，利用相似三角形的判定和性质进行解答．
解答 解：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
∴∠BED=∠BCA=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=5$，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{AB}$，
∵点D为BC的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴$\frac{DE}{3}=\frac{2}{5}，DE=\frac{6}{5}$，
∴点D到AB的距离为$\frac{6}{5}$；
（2）①当0≤t≤5时，BP=5-t，
${S}_{△BDP}=\frac{1}{2}BP•DE$，
∴$S=\frac{1}{2}×\frac{6}{5}（5-t）=-\frac{3}{5}t+3$；
②当5＜t≤10时，BP=t-5，
${S}_{△BDP}=\frac{1}{2}BP•DE$，
$S=\frac{1}{2}×\frac{6}{5}（t-5）=\frac{3}{5}t-3$；
（3）如图2，当PD∥AC时，
∴△BDP∽△BCA，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{5-t}{5}=\frac{1}{2}或\frac{t-5}{5}=\frac{1}{2}$，
解得：t=2.5或t=7.5；
（4）t=$\frac{15}{7}$或t=$\frac{55}{7}$，
如图3，过点P作PF⊥BC，垂足为点F，
∴∠PFB=∠ACB=90°，
∴PF∥AC，
∴△BFP∽△BCA，
∴$\frac{PF}{AC}=\frac{BF}{BC}=\frac{BP}{BA}$，
∴$\frac{PF}{3}=\frac{BF}{4}=\frac{5-t}{5}或PF=\frac{3}{5}（t-5），BF=\frac{4}{5}（t-5）$，
∵CP平分∠ACB，
∴∠PCF=∠FPC=45°，
∴CF=PF=$\frac{3}{5}（5-t）或CF=PF=\frac{3}{5}（t-5）$，
∴$\frac{3}{5}（5-t）+\frac{4}{5}（5-t）=4或\frac{3}{5}（t-5）+\frac{4}{5}（t-5）=4$，
∴$t=\frac{15}{7}或t=\frac{55}{7}$．
点评 本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，能求出符合情况的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
同学们，你玩过折纸游戏吗？折纸游戏里还蕴藏着不少数学知识呢!请准备一张长方形纸片，按照小亮的方法折纸，折叠后A′B与E′B在同一直线上，如图所示，则两折痕BC与BD的夹角∠CBD的度数为90°． 
画图并计算：已知直线AB上有一点C，M是线段AC的中点，若BC=4cm，AB=10cm，求AM的长．
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为点D，则AD的长为（ ）| A． | $\frac{25}{4}$ | B． | 6 | C． | $\frac{24}{5}$ | D． | 4 |
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
如图，∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB．