Question

如图，已知抛物线y=-x²-3x+m经过点C（-2，6），与x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D．
（1）求点A的坐标；
（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE、AC，求证：△AEC是等腰直角三角形；
（3）连接AD交BC于点F，试问当-4＜x＜1时，在抛物线上是否存在一点P使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABF相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点C（-2，6）代入解析式求出m的值，令y=0，求出A的坐标；
（2）根据两点间的距离公式求出AE、CE的长度，再根据股定理的逆定理判断出△AEC是等腰直角三角形；
（3）求出AD、BC的解析式组成方程组，解出F的坐标，根据三角形相似求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²-3x+m经过点C（-2，6），
∴-（-3）²-3×（-3）+m=6，
∴m=4，
∴y=-x²-3x+4，
∴当y=0时，-x²-3x+4=0，
∴x₁=-4，x₂=1，
∴点A的坐标为（-4，0）．
（2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
由题意得，

k+b=0 -2k+b=6

，
解得，

k=-2 b=2

；
∴直线BC的解析式为y=-2x+2，
∴点E的坐标为（0，2），
∴AE=

AO2+OE2

=

42+22

=2

5

，CE=

(-2-0)2+(6-2)2

=2

5

；
∴AE=CE，
又∵AC²=（-2+4）²+（6-0）²=40，
AE²+CE²=（2

5

）²+（2

5

）²=40，
∴AC²=AE²+CE²，
∴△AEC为等腰直角三角形．

（3）设BC解析式为y=kx+b，
将（1，0），（-2，6）代入解析式得

k+b=0 -2k+b=6

，
解得，

k=-2 b=2

，解析式为y=-2x+2；
设AD解析式为y=mx+n，
将A（-4，0），D（0，4）代入解析式得

-4m+n=0 n=4

，
解得，

m=1 n=4

，解析式为y=x+4；
将y=-2x+2和y=x+4组成方程组得

y=-2x+2 y=x+4

，
解得

x=- 2 3 y= 10 3

，
则BF=

(- 2 3 -1)2+( 10 3 -0)2

=

5 5

3

，AF=

[- 2 3 -(-4)]2+( 10 3 -0)2

=

10 2

3

；
又∵AB=5，BC=

(-2-1)2+(6-0)2

=3

5

；
∴

BF

AB

=

5

3

，

AB

BC

=

5

3

，
∴

BF

AB

=

AB

BC

，
∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA，
∴当点P与点C重合时，以A、B、P为顶点的三角形与△ABF相似．
又∵抛物线关于直线x=-

3

2

对称，
当点P与点C的对称点重合时，以A、B、P为顶点的三角形也与△ABF相似．
∴当点P的坐标为（-1，6）或（-2，6）时，以A、B、P为顶点的三角形也与△ABF相似．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、两点间的距离公式、相似三角形等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．