Question

【题目】在正方形中，点，，分别是边，，的中点，点是直线上一点.将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接.

（1）如图1，请直接写出与的数量及位置关系；

（2）如图2，若点在线段的延长线上，猜想线段，，之间满足的数量关系，并证明你的结论.

（3）若点在线段的反向延长线上，请在图3中补全图形并直接写出线段，，之间满足的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）且；（2），证明见解析；（3）

【解析】

（1）由正方形的三边中点，可根据边角边证明，所以，再由△AEF和△BGF为等腰直角三角形，推出；

（2）由旋转得到，，再推出，然后根据边角边证明，所以，然后由可推出线段，，之间的关系；

（3）同（2）可利用边角边证明，所以，然后由推出线段，，之间的关系.

（1）证明：∵正方形，，，分别是边，，的中点，

∴，，

∴，

∴，，

∴，即.

（2）；

证明：∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

,，，

∴，

∴.

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

即.

（3）补全图形如下图所示，

，证明如下：

∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，

∴，，

∵，

∴，

∴，

在和中，

,，，

∴，

∴.

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴，

即.