Question

如图①，直线AB的解析式为（）与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABO=60°.经过A、O两点的⊙O₁与x轴的负半轴交于点C，与直线AB切于点A．
 （1）求C点的坐标； 

（2）如图②，过作直线EF∥y轴，在直线EF上是否存在一点D，使得△DAB的周长最短，若存在，求出D点坐标，不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，连接与⊙交于点G，点P为劣弧上一个动点，连接GP与EF的延长线交于H点，连接EP与OG交于I点，当P在劣弧运动时（不与G、F两点重合），的值是否发生变化，若不变，求其值，若发生变化，求出其值的变化范围.

Answer 1

解：（1）连结AC ∵
∴B(2，0) ∵∠ABO=60°
∴∠OAB=30°
∴AB=4，OA=
∵AB是切线
∴∠CAB=90°，∠ACB=30°
∴AC=，CO=6
∴C（-6，0）
（2）存在D点，坐标为
∵EF过圆心且垂直x轴
∴EF平分CO 取B点关于EF的对称点M，则M点的坐标为（-8，0）
设直线AM的解析式为y=kx+b
∵A，M（-8，0）
∴
直线AM与直线EF的交点即为D点，此时△DAB的周长最短
∴
（3）的值不发生变化，=
连结GF
∵∠GOC=30°
∴
∴△为等边三角形
∴
∵∠HGF=∠HEP ∠HFG=∠ =120°
∴△HGF≌△
∴
∴==