Question

如图，在平面直角坐标系中，在第一象限内，OM与OB是两坐标轴夹角的三等分线，点E是OM上一点，EC⊥X轴于C点，ED⊥OB于D点，OD=8，OE=10
（1）求证：∠ECD=∠EDC；
（2）求证：OC=OD；      
（3）求点E的坐标；
（4）试判断OE与线段CD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线性质可证ED=EC，从而可知△CDE为等腰三角形，可证∠ECD=∠EDC；
（2）由OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE=OE，可证△OED≌△OEC，可得OC=OD；
（3）利用勾股定理求出CE的长即可；
（4）根据SAS证出△DOF≌△COF，得出DF=FC，再根据ED=EC，OC=OD，可证OE是线段CD的垂直平分线．

解答：证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，即△CDE为等腰三角形，
∴∠ECD=∠EDC；

（2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL），
∴OC=OD；

（3）∵OD=8，OE=10，
∴DE=

102-82

=6，
∴OC=8，CE=6，
∴点E的坐标为（8，6）；

（4）OE垂直平分CD，理由如下：
在△DOF和△COF中，

OC=OD ∠EOC=∠BOE OF=OF

，
∴△DOF≌△COF，
∴DF=FC，
∵ED=EC，
∴OE是线段CD的垂直平分线．

点评：本题考查了角平分线性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，三角形全等的相关知识．关键是明确图形中相等线段，相等角，全等三角形．