Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm。

如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动。当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移。DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）。解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由。

（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。（图（3）供同学们做题使用）

Answer 1

解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，

∴AP = AQ.

        ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，

∴∠EQC = 45°.

        ∴∠DEF =∠EQC.

        ∴CE = CQ.

        由题意知：CE = t，BP =2 t，                    

            ∴CQ = t.

            ∴AQ = 8－t.

            在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .

            则AP = 10－2 t.

            ∴10－2 t = 8－t.

            解得：t = 2.

            答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上.     

   （2）过P作，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

        ∴ .   ∴PM = .

        ∵BC = 6 cm，CE = t，  ∴ BE = 6－t.

            ∴y = S_△ABC－S_△BPE =－= －

= = .