题目内容
4．设抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+mx+n与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（4，0）．（1）求抛物线的解析式．
（2）已知点C（2，k ）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．
①填空：k=-3，点E的坐标为（6，7）．
②在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、C为顶点的三角形与△AEB相似，若存在，求点P的坐标；不存在，说明理由．
③若在抛物线上存在一点M，在y轴上存在点N，使得以点A、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有点N的坐标（0，5），（0，4）（0，40）．
分析 （1）把A（-1，0）、B（4，0）代入y=$\frac{1}{2}$x2+mx+n解方程组即可．
（2）①利用待定系数法，解方程组即可解决问题．
②首先证明∠EAB=∠CAB=45°，列出方程即可解决问题．
③分两种情形a、当AE为边时，AE=M1N1=7$\sqrt{2}$，推出M1（7，12），N1（0，5）．或M3N3=AE=7$\sqrt{2}$．推出M3（-7，33），N3（0，40）．b、AE为对角线时，M2（5，3），得出N2（0，4）．
解答 解：（1）把A（-1，0）、B（4，0）代入y=$\frac{1}{2}$x2+mx+n得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-m+n=0}\\{8+4m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{2}}\\{n=-2}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{3}{2}$x-2．
（2）①x=2时，y=2-3-2=-3，
∴k=-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=7}\end{array}\right.$，
∴E（6，7）
故答案为-3，6，7．
②如图1中，过E作ED⊥X轴于点 D．
∵A（-1，0），E（6，7），
∴AD=ED=7，
∴∠EAD=45°，
同理∠CAB=45°
若△PAC与△AEB相似
则$\frac{AE}{AB}$=$\frac{PA}{AC}$或$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AC}{PA}$，
解得PA=$\frac{42}{5}$或PA=$\frac{45}{7}$，
∴P（$\frac{37}{5}$，0）或P（$\frac{8}{7}$，0）．
③如图2中，
a、当AE为边时，AE=M1N1=7$\sqrt{2}$，
∴M1（7，12），N1（0，5）．
或M3N3=AE=7$\sqrt{2}$．
∴M3（-7，33），N3（0，40）．
b、AE为对角线时，M2（5，3），
∴N2（0，4）．
综上所述，满足条件的点N坐标为（0，5），（0，4）（0，40 ）．
故答案为（0，5），（0，4）（0，40 ）．
点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题．
如图，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC全等的格点三角形共有3个（不含△ABC）．| A． | y1＞y2＞y3 | B． | y2＞y1＞y3 | C． | y2＞y3＞y1 | D． | y3＞y1＞y2 |
如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为$\sqrt{3}$cm，则对角线AC长和BD长之比为1：$\sqrt{3}$．．| A． | 1 个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |