Question

如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC．

（1）猜想直线MN与⊙0的位置关系，并说明理由；

（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．

Answer 1

考点：

切线的判定；解直角三角形．

分析：

（1）连接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根据切线的判定推出即可；

（2）求出AD、AB长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可．

解答：

解：（1）直线MN与⊙0的位置关系是相切，

理由是：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠CAB=∠DAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥MN，

∴OC⊥MN，

∵OC为半径，

∴MN是⊙O切线；

（2）∵CD=6，cos∠ACD==，

∴AC=10，由勾股定理得：AD=8，

∵AB是⊙O直径，AD⊥MN，

∴∠ACB=∠ADC=90°，

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB，

∴=，

∴=，

∴AB=12.5，

∴⊙O半径是×12.5=6.25．

点评：

本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．