Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠BAD=3∠CBD．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）M是线段BD上一点，BM：AB=3：4，点F在BA的延长线上，连接FM，∠BFM的平分线FN交BD于点N，交AD于点G，点H为BF中点，连接MH，当GN=GD时，探究线段CD、FM、MH之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似形综合题,平行线的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）根据等式的性质，可得∠APE=∠ADE，根据等腰三角形的性质，可得∠PAD=2β，根据直角三角形的性质，可得∠AEB+∠CBE=90°，根据等式的性质，可得∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得∠ABE=∠ACD，根据等腰三角形的性质，可得∠GND=∠GDN，根据对顶角的性质，可得∠AGF的度数，根据三角形外角的性质，∠AFG的度数，根据直角三角形的性质，可得BF与MH的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠FRM=∠FMR，根据平行线的判定与性质，可得∠CBD=∠RMB，根据相似三角形的判定与性质，可得

BR

CD

=

BM

AC

=

AM

AB

=

3

4

，根据线段的和差，可得BR=BF-FR，根据等量代换，可得答案．

解答：（1）证明：如图1，作∠BAP=∠DAE，AP交BD于P，
设∠CBD=α，∠CAD=β，
∵∠ADB=∠CAD+∠ABD，∠APE=∠BAP+∠ABD，
∴∠APE=∠ADE，AP=AD．
∵AC⊥BD
∴∠PAE=∠DAE=β，
∴∠PAD=2β，∠BAD=3β．
∵∠BAD=3∠CBD，
∴3β=3α，β=α．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=90°-∠CBE=90°-α=90°-β．
∵∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=90°-β，
∴∠ACB=∠ABC，
∴△ABC为等腰三角形；

（2）2MH=FM+

3

4

CD．
证明：如图2，
由（1）知AP=AD，AB=AC，∠BAP=∠CAD=β，
∴△ABP≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD．
∵AC⊥BD，
∴∠GDN=90°-β，
∵GN=GD，
∴∠GND=∠GDN=90°-β，
∴∠NGD=180°-∠GND-∠GDN=2β．
∴∠AGF=∠NGD=2β．
∴∠AFG=∠BAD-∠AGF=3β-2β=β．
∵FN平分∠BFM，
∴∠NFM=∠AFG=β，
∴FM∥AE，
∴∠FMN=90°．
∵H为BF的中点，
∴BF=2MH．
在FB上截取FR=FM，连接RM，
∴∠FRM=∠FMR=90°-β．
∵∠ABC=90°-β，
∴∠FRM=∠ABC，
∴RM∥BC，
∴∠CBD=∠RMB．
∵∠CAD=∠CBD=β，
∴∠RMB=∠CAD．
∵∠RBM=∠ACD，
∴△RMB∽△DAC，
∴

BR

CD

=

BM

AC

=

BM

AB

=

3

4

，
∴BR=

3

4

CD．
∵BR=FB-FM，
∴FB-FM=BR=

3

4

CD，
FB=FM+

3

4

CD．
∴2MH=FM+

3

4

CD．

点评：本题考查了相似形综合题，（1）利用了等腰三角形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质；（2）相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定与性质，利用的知识点多，题目稍有难度，相似三角形的判定与性质是解题关键．