Question

如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB上的一点，将△BCE沿CE折叠至△FCE，若CF，CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则⊙O的半径为（　　）

• A．1
• B．

  2

  -1
• C．

  3

  -1
• D．

  3 +1

  2

Answer 1

分析：连接AC交于点O，设EC与⊙O相切于点N，连接ON，由O为正方形的中心，得到∠DCO=∠BCO，又CF与CE为圆O的切线，根据切线长定理得到CO平分∠ECF，可得出∠DCF=∠BCE，由折叠可得∠BCE=∠FCE，再由正方形的内角为直角，可得出∠ECB为30°，在直角三角形CON中，求出CO的长，再利用sin∠OCN=sin15°=

1-cos30° 2

，即可得到NO的长．

解答：解：连接AC交于点O，设EC与⊙O相切于点N，连接ON，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴∠DCO=∠BCO，
又∵CF与CE都为圆O的切线，
∴CO平分∠ECF，即∠FCO=∠ECO，
∴∠DCO-∠FCO=∠BCO-∠ECO，即∠DCF=∠BCE，
又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，
∴∠BCE=∠ECF，
∴∠BCE=∠ECF=∠DCF=

1

3

∠BCD=30°，
∴∠OCN=15°，
∵BC=AB=4，
∴CO=

1

2

AC=2

2

，
∵sin∠OCN=sin15°=

1-cos30° 2

=

2- 3

2

，
∴

ON

CO

=

2- 3

2

，
即ON=

2- 3

2

×2

2

=

4-2 3

=

( 3 -1)2

=

3

-1，
故选：C．

点评：此题考查了切线的性质，正方形的性质以及折叠的性质和锐角三角函数关系等知识，熟练掌握定理及性质由半角公式求出半径是解本题的关键．