Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．

（1）求∠OCD的度数；

（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；

（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）∠OCD=45°；（2）M（2，）；（3）不存在．理由见解析.

【解析】（1）想办法证明OC=OD即可解决问题；

（2）设M（a，），由△OPM∽△OCP，推出，由此构建方程求出a，再分类求解即可解决问题；

（3）不存在分三种情形说明：①当1＜x＜5时，如图1中；②当x≤1时，如图2中；③当x≥5时，如图3中.

（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有 ，

解得，

∴y=-x+m+1，

令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），

令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），

∴OC=OD，

∵∠COD=90°，

∴∠OCD=45°．

（2）设M（a，），

∵△OPM∽△OCP，

∴，

∴OP2=OCOM，

当m=3时，P（3，1），C（4，0），

OP2=32+12=10，OC=4，OM=，

∴，

∴10=4，

∴4a4-25a2+36=0，

（4a2-9）（a2-4）=0，

∴a=±，a=±2，

∵1＜a＜3，

∴a=或2，

当a=时，M（，2），

PM=，CP=，

，（舍去）

当a=2时，M（2，），PM=，CP=，

∴，成立，

∴M（2，）．

（3）不存在．理由如下：

当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，），

OP的解析式为：y=x，OQ的解析式为y=5x，

①当1＜x＜5时，如图1中，

∴E（，），F（x，x），

S=S矩形OAMB-S△OAF-S△OBE

=5-xx-=4.1，

化简得到：x4-9x2+25=0，

△＜O，

∴没有实数根．

②当x≤1时，如图2中，

S=S△OGH＜S△OAM=2.5，

∴不存在，

③当x≥5时，如图3中，

S=S△OTS＜S△OBM=2.5，

∴不存在，

综上所述，不存在．