Question

【题目】如图，内接于，过点的切线与的延长线相交于点，且，点在的延长线上，，．

求证：为的切线．

若，求的长．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)．

【解析】

（1）连接，由半径垂直于，利用垂径定理得到为的中点，可得出两条弧相等，根据等弧对等角可得出，又为圆的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角可得出，等量代换可得出三个角相等，由与垂直得到为直角，可得出三个角都为，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的倍，可得出为，又为，在三角形中，利用三角形的内角和定理得到为，根据垂直的定义得到垂直于，即可得出此时为圆的切线；

（2）由，且为，得到三角形为等边三角形，根据等边三角形的三边长相等可得出，由的长得出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，将及的值代入即可求出的长.

连接，如图所示：

∵，且为圆心，

∴点为的中点，即，

∴，

又为切线，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，又，

∴，

∴，

则为圆切线；

∵，，

∴为等边三角形，

∴，

在中，，

∴，

则．