Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

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2

x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．
（1）求点P的坐标．
（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．
（3）若在直线y=-

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2

x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围．
（4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b值．

Answer 1

分析：（1）因为以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作的等腰直角三角形PMN，点P在第一象限，所以可作PK⊥MN于K，则PK=KM=

1

2

NM=2，进而可求KO=6，所以P（6，2）；
（2）需分情况讨论：当0＜b≤2时，S=0；当2＜b≤3时，重合部分是一个等腰直角三角形，可设AC交PM于H，AM=HA=2b-4，所以S=

1

2

（2b-4）²；当3＜b＜4时，重合部分是一个四边形，因此可设AC交PN于H，四边形的面积=三角形PMN的面积-三角形HAN的面积，因为NA=HA=8-2b，所以S=-2（4-b）²+4，当b≥4时，重合部分就是直角三角形PMN，所以S=4．
（3）因为直线y=-

1

2

x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM等于90°，利用90°的圆周角对的弦是直径，所以以OM为直径作圆，当直线y=-

1

2

x+b（b＞0）与此圆相切时，求得的就是b的最大值，而此时b=

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+1；
（4）因为△PCD为等腰三角形，所以需分情况讨论，当PC=PD时，b=4．当PC=CD时，b₁=2（舍），b₂=5．当PD=CD时，b=8±2

6

．

解答：解：（1）作PK⊥MN于K，则PK=KM=

1

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NM=2，
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）①当点A落在线段OM上（可与点M重合）时，如图（一），此时0＜b≤2，S=0；
②当点A落在线段AK上（可与点K重合）时，如图（二），此时2＜b≤3，设AC交PM于H，MA=AH=2b-4，
∴S=

1

2

（2b-4）²=2b²-8b+8，


③当点A落在线段KN上（可与点N重合）时，如图（三），此时3＜b≤4，设AC交PN于H，AN=AH=8-2b，
∴S=S_△PMN-S_△ANH=4-2（4-b）²=-2b²+16b-28，

④当点A落在线段MN的延长线上时，b＞4，如图（四），S=4；


（3）以OM为直径作圆，当直线y=-

1

2

x+b（b＞0）与圆相切时，b=

5

+1，如图（五）；
当b≥4时，重合部分是△PMN，S=4
设Q（x，b-

1

2

x），因为∠OQM=90°，O（0，0），M（4，0）所以OQ²+QM²=OM²，
即[x²+（b-

1

2

x）²]+[（x-4）²+（b-

1

2

x）²]=4²，
整理得

5

2

x²-（2b+8）x+2b²=0，

5

4

x²-（b+4）x+b²=0，
根据题意这个方程必须有解，也就是判别式△≥0，即（b+4）²-5b²≥0，-b²+2b+4≥0，b²-2b-4≤0，可以解得 1-

5

≤b≤1+

5

，由于b＞0，所以0＜b≤1+

5

．

故0＜b≤

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+1；

（4）b的值为4，5，8±2

6

．
∵点C、D的坐标分别为（2b，b），（b，b）
当PC=PD时，b=4；
当PC=CD时，b₁=2（P、C、D三点共线，舍去），b₂=5；
当PD=CD时，b=8±2

6

．

点评：本题是一道综合性极强的题目，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．