Question

如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠DFC的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据△ABC是等边三角形，得到∠BAC=∠B=60°，AB=AC，再根据AE=BD可以利用SAS证得△AEC≌△BDA，从而证得AD=CE．
（2）根据△AEC≌△BDA得到∠ACE=∠BAD，然后求得∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=60°，从而求得其正弦值．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC
又∵AE=BD
∴在△AEC与△BDA中，

AB=AC ∠BAC=∠B AE=BD

∴△AEC≌△BDA（SAS），
∴AD=CE；
                                                        
（2）解：由（1）△AEC≌△BDA，
得∠ACE=∠BAD（6分）∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=∠FAC+∠BAD=60°，
∴sin∠DFC=

3

2

．

点评：本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题是关键是发现等边三角形中隐含的条件．