题目内容
【题目】如图，对称轴为直线
的抛物线经过
、
两点，与
轴的另一个交点为
，点
在
轴上，且
．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线上的一个动点
的横坐标为
．
①当
时，求四边形
的面积
与的函数关系式，并求出的最大值；
②点
在直线
上，若以
为边，点
、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）①S=
，S的最大值为
；②点P的坐标分别为：P1（1，4），P2（2，3），P3（
，
），P4（
，
）．
【解析】
（1）由对称轴和A点坐标可求出B点坐标，设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，把C（0，3）代入，可求出a值，即可得答案；
（2）①如图，连结BC，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，根据B、C两点坐标可得直线BC的解析式，根据
可求出OD、CD的长，设P（t，-t2+2t+3），则E（t，-t+3），可用含t的代数式表示出PE的长，根据S四边形CDBP=S△BCD+S△BPC可得S的表达式，根据二次函数的性质即可求出S的最大值；
②由以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形可得PQ∥CD，且PQ=CD，分点P在点Q上方和点P在点Q下方两种情况，利用平行四边形的性质求出t值即可得答案．
（1）∵对称轴为x=1，A（-1，0），
∴B（3，0），
设所求抛物线的表达式为y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线经过C（0，3）两点，
∴3=a（0+1）（0-3），
解得：a=-1，
∴所求抛物线的表达式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3．
（2）①如图，连结BC，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式为y=-x+3．
∵OB=3OD，OB=OC=3，
∴OD=1，CD=2．
设P（t，-t2+2t+3），则E（t，-t+3）．
∴PE=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t．
∴S四边形CDBP=S△BCD+S△BPC=
CD·OB+PE·OB，
∴S=
∵a=
＜0，且0＜t＜3，
∴当t=
时，S的最大值为．
②∵以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，
∴PQ∥CD，且PQ=CD=2，
∵点P在抛物线上，点Q在直线BC上，
∴点P（t，-t2+2t+3），点Q（t，-t+3）．
分两种情况讨论：
第一种情况：如图，当点P在点Q上方时，
∴（-t2+2t+3）-（-t+3）=2．即t2-3t+2=0，
解得：t1=1，t2=2，
∴P1（1，4），P2（2，3）．
第二种情况：如图，当点P在点Q下方时，
∴（-t+3）-（-t2+2t+3）=2．即t2-3t-2=0，
解得：t3=，t4=，
∴P3（，），P4（，）．
综上所述，所有符合条件的点P的坐标分别为：P1（1，4）， P2（2，3），P3（，）， P4（，）．
