Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与8O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD；
（1）求证：∠CDE=2∠B；
（2）若cos∠B=

3

2

，求8O的半径及DF的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）证明：连结OD，如图，根据切线的性质得∠ODC=90°，即∠CDE+∠ODE=90°，则可利用等角的余角相等得到∠DOE=∠CDE，加上∠B=∠ODB，于是可根据三角形外角性质得∠DOE=2∠B，所以∠CDE=2∠B；
（2）在Rt△BDE中，由于cosB=

3

2

，则∠B=30°，所以DE=

1

2

BD=5，∠DOE=60°，由垂径定理得DE=FE，所以DF=2DE=10，然后在Rt△DOE中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出OD=

10 3

3

．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵直线CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
即∠CDE+∠ODE=90°，
∵DF⊥AB，
∴∠DOE+∠ODE=90°，
∴∠DOE=∠CDE，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠DOE=∠B+∠ODB=2∠B，
∴∠CDE=2∠B；
（2）解：在Rt△BDE中，∵cosB=

3

2

，
∴∠B=30°，
∴DE=

1

2

BD=5，∠DOE=60°，
∵DF⊥AB，
∴DE=FE，
∴DF=2DE=10，
在Rt△DOE中，∵∠ODE=30°，
∴OE=

3

3

DE=

5 3

3

，
∴OD=2OE=

10 3

3

，
即⊙O的半径为

10 3

3

，DF的长为10．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了特殊角的三角函数值和含30度的直角三角形三边的关系．