Question

如图，AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC的一点，AE平分∠DAB．
（1）如果BE平分∠ABC，求证：点E是DC的中点；
（2）如果E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC．

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，CE=EF，然后求出CE=DE，再根据线段中点的定义证明即可；
（2）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明．

解答： 证明：（1）如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵AD⊥DC，BC⊥DC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴DE=EF，CE=EF，
∴CE=DE，
∴点E是DC的中点；

（2）∵AD⊥DC，BC⊥DC，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴CE=DE，
∴CE=EF，
∵EF⊥AB，BC⊥CD，
∴BE平分∠ABC．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记两性质并作出辅助线是解题的关键．