题目内容
20．
如图，△ABC是等边三角形，点D从点B出发沿BC向点C运动，点E以相同的速度从点C出发沿CA向点A运动，BE与AD相交于点F，连结DE．则下列结论：①若BD=$\frac{1}{3}$BC，CE=$\frac{1}{3}$AC，则DE⊥AC；②CE2=DF•DA；③AF•BE=AE•AC；④若△ABC的边长为2$\sqrt{3}$，点F随点D、E运动，则点F运动所经过的路径长为4π，其中正确的有①②③（填序号）
分析 ①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，即可证∠AFE=60°，从CD上截取CM=CE，连接EM，证△CEM是等边三角形，可证明DE⊥AC；②△BDF∽△ADB，由相似比则可得到CE2=DF•DA；③只要证明了△AFE∽△BAE，即可推断出AF•BE=AE•AC；④根据题意求出∠AFB=120°，根据弧长公式计算，即可判断．
解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，
∵BD=$\frac{1}{3}$BC，CE=$\frac{1}{3}$AC，
∴BD=EC，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBD=60°，
∴∠ABE+∠CBE=60°，
∵∠AFE是△ABF的外角，
∴∠AFE=60°，
从CD上截取CM=CE，连接EM，则△CEM是等边三角形
∴EM=CM=EC
∵EC=$\frac{1}{2}$CD
∴EM=CM=DM
∴∠CED=90°
∴DE⊥AC，
∴①正确；
由前面的推断知△BDF∽△ADB
∴BD：AD=DF：DB
∴BD2=DF•DA
∴CE2=DF•DA
∴②正确；
在△AFE和△BAE中，∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角
∴△AFE∽△BAE
∴AF•BE=AE•AC
∴③正确；
∵∠AFE=60°，
∴∠AFB=120°，
∴点F在以AB为弦的圆上，且弦AB所对的圆心角为120°，
则圆的半径为2，
∴点F运动所经过的路径长为：$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π，
∴④错误，
故答案为：①②③．
点评 本题考查的是三角形外角与内角的关系，直角三角形的判定，全等三角形和相似三角形的判定及性质，掌握相关的性质定理、判定定理是解题的关键．
