题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=16，动点P在BC边上，过动点P作PD⊥AB，D为垂足．
（1）若△ABC与△DAP相似，则∠APD是多少度？
（2）设BP=x，△APD的面积为y，求y与x之间的函数关糸式，并求出当x为何值时y值最大？最大值是多少？
（3）现动点P以每秒4个单位的速度从点B向终点C移动，移动的时间为t（单位：秒），同时另一动点Q以每秒2个单位的速度从点A出发沿AC方向运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．以线段BP为直径作⊙O1，以线段AQ为直径作⊙O2，根据⊙O1和⊙O2的交点个数求相应的t的取值范围．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）先根据在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°求出∠B的度数，再根据相似三角形的对应角相等即可得出结论；
（2）先根据锐角三角函数的定义求出AC、AB的长，再设BP=x，则DP=
1
2
x，BD=
3
2
x．AD=AB-BD=8
3
-
3
2
x，再根据y=
1
2
AD•DP即可得出x、y的函数关系式，求出y的最值即可；
（3）过O2作O2E⊥BC于点E，根据AO2=t，得出O2C=AC-AO2=8-t，再根据勾股定理得出O2E的长，根据BO1=2t，可得出O1E的长，假设两圆相外切，则有O1O2=t+2t=3t．在Rt△O1O2E中，有O1O22=O1E2+O2E2，故可得出t的值，根据t＞0可知t=4
3
-4．再根据当t=4时，点P与点Q同时到达终点C，此时两圆相交即可得出结论．
解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，
∴∠B=30°，
∵△DPA∽△ACB，
∴∠APD=60°，∠APD=30°；

（2）在Rt△ABC中，∠C=60°，BC=16，
∴AC=8，AB=8
3
．
∵BP=x，∴DP=
1
2
x，BD=
3
2
x．
∴AD=AB-BD=8
3
-
3
2
x，
∴y=
1
2
AD•DP=
1
2
（8
3
-
3
2
x）•
1
2
x=-
3
8
x2+2
3
x=-
3
8
（x-8）2+8
3
．
∵0＜x＜16，
∴当x=8时，y有最大值，最大值是8
3
；

（3）解法一：过O2作O2E⊥BC于点E，连O1O2，
∵AO2=t，
∴O2C=AC-AO2=8-t．
在Rt△O2EC 中，∠C=60°，
∴EC=
1
2
O2C=4-
1
2
t，
∴O2E=
O2C2-EC2
=
3
（4-
1
2
t），
∵BO1=2t，
∴O1E=BC-EC-BO1=16-（4-
1
2
t）-2t=12-
3
2
t．
假设两圆相外切，则有O1O2=t+2t=3t．
在Rt△O1O2E中，有O1O22=O1E2+O2E2
即（3t）2=（4-
1
2
t）2+（12-
3
2
t）2
化简得，t2+8t-32=0，
解得t=-4±4
3
．因为t＞0，
所以t=4
3
-4．…（12分）
又∵当t=4时，点P与点Q同时到达终点C，此时两圆相交．
∴综上所述当0＜t＜4
3
-4（或0≤t＜4
3
-4）时，两圆相离，没有交点；
当t=4
3
-4时，两圆外切，只有一个交点；
当4
3
-4＜t≤4时，两圆相交，有两个交点．…（14分）
解法二：连O1O2，
∵AO2=t，BO1=2t，
∴O2C=AC-AO2=8-t，CO1=16-2t，
∵
CO2
CO1
=
CA
CB
，∠C=∠C，
∴△CO1O2∽△CBA，即：∠CO2O1=∠CAB=90°
则 CO22+O1O22=CO12
假设两圆相外切，则有O1O2=t+2t=3t．
∴（8-t）2+（3t）2=（16-2t）2
解得t=-4±4
3
．因为t＞0，
所以t=4
3
-4．…（12分）
又∵当t=4时，点P与点Q同时到达终点C，此时两圆相交．
∴综上所述当0＜t＜4
3
-4（或0≤t＜4
3
-4）时，两圆相离，没有交点；
当t=4
3
-4时，两圆外切，只有一个交点；
当4
3
-4＜t≤4时，两圆相交，有两个交点．
解法三：过O1作O1H⊥BA于点H，则 O1O2=HA，
∵BO1=2t，∴BH=
3
t．
假设两圆相外切，
∵AO2=t，则有O1O2=t+2t=3t．
∵BH+HA=BH+O1O2=AB
∴
3
t+3t=8
3
，解得：t=4
3
-4．
又∵当t=4时，点P与点Q同时到达终点C，此时两圆相交．
∴综上所述当0＜t＜4
3
-4（或0≤t＜4
3
-4）时，两圆相离，没有交点；
当t=4
3
-4时，两圆外切，只有一个交点；
当4
3
-4＜t≤4时，两圆相交，有两个交点．
点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的性质，圆与圆的位置关系、勾股定理等知识，难度较大．
练习册系列答案
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已知单项式
1
2
xa-1y3与-3xy2a+b是同类项，那么a，b的值分别是（　　）
A、
a=2
b=-1
B、
a=2
b=1
C、
a=-2
b=-1
D、
a=-2
b=1
要使a+8的值与2-a的值相等，则a的值应为（　　）
A、5B、-5C、3D、-3
在实数-
2
3
，0，-π，
3
2
，3.14，
4
，
33
中，无理数有（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个
化简：
16-a2
a2+8a+16
÷
a-4
2a+8
•
a-2
a+2
．
x=y+50
x+y=90
．
求下列各式中的．
（1）x2=
4
81
       
（2）
1
2
（2x-1）3=-4．
如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明．供选择的三个条件（请从其中选择一个）：①∠A=∠D；②BC=EF；③AB=ED．
阅读材料：如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么，x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
这就是著名的韦达定理．
现在我们利用韦达定理解决问题：
已知m与n是方程2x2-4x-3=0的两根，
（1）填空：m+n=
 
；m•n=
 
；
（2）计算
1
m
+
1
n
的值．

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