题目内容
（2013•济南）如图1，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=67.5°，△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，点M为边AC上的一个动点（重合），点M关于AB所在直线的对称点为N，△CMN的面积为S．
（1）求∠CAD的度数；
（2）设CM=x，求S与x的函数表达式，并求x为何值时S的值最大？
（3）S的值最大时，过点C作EC⊥AC交AB的延长线于点E，连接EN（如图2），P为线段EN上一点，Q为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件NP的长．
（1）求∠CAD的度数；
（2）设CM=x，求S与x的函数表达式，并求x为何值时S的值最大？
（3）S的值最大时，过点C作EC⊥AC交AB的延长线于点E，连接EN（如图2），P为线段EN上一点，Q为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件NP的长．
分析：（1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠CAB，根据轴对称求出∠DAB即可；
（2）求出AN=AM=4-x，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据勾股定理求出MN，MO、NO，EA，EN，分为三种情况：①当以MN为对角线时，此时P在E上，此时NP=NE，②以MN为一边时，以N为圆心，以MN为半径画弧交NE于P，此时MN=NP；③以MN为一边时，过M作MZ⊥NE于Z，则PZ=NZ，证△ENO∽△MNZ，求出ZN=
，得出NP=2ZN．
（2）求出AN=AM=4-x，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据勾股定理求出MN，MO、NO，EA，EN，分为三种情况：①当以MN为对角线时，此时P在E上，此时NP=NE，②以MN为一边时，以N为圆心，以MN为半径画弧交NE于P，此时MN=NP；③以MN为一边时，过M作MZ⊥NE于Z，则PZ=NZ，证△ENO∽△MNZ，求出ZN=
| 2 |
| 5 |
| 5 |
解答：解：（1）∵AB=AC，∠ABC=67.5°，
∴∠ACB=∠ABC=67.5°，
∴∠CAB=180°-67.5°-67.5°=45°，
∵△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，
∴∠DAB=∠CAB=45°，
∴∠CAD=45°+45°=90°．
（2）由（1）知：AN⊥AM，
∵点M、N关于AB所在直线对称，
∴AM=AN，
∵CM=x，
∴AN=AM=4-x，
∴S=
×CM×AN=
x（4-x），
∴S=-
x2+2x，
∴当x=-
=2时，S有最大值．
（3）∵CE⊥AC，
∴∠ECA=90°，
∵∠CAB=45°，
∴∠CEA=∠EAC=45°，
∴CE=AC=4，
在Rt△ECA中，AC=EC=4，由勾股定理得：EA=
=4
，
∵AM=AN，∠CAB=∠DAB，
∴AO⊥MN，MO=NO，
在Rt△MAN中，AM=AN=4-2=2，由勾股定理得：MN=
=2
，
∴MO=NO=
，
由勾股定理得：AO=
=
，
∴EO=4
-
=3
，
在Rt△EON中，EO=3
，MO=
，由勾股定理得：EM=
=2
，
分为三种情况：①当以MN为对角线时，此时P在E上，即NP=NE=2
；
②以MN为一边时，以N为圆心，以MN为半径画弧交NE于P，
此时NP=MN=2
；
③以MN为一边时，
过M作MZ⊥NE于Z，则PZ=NZ，
∵AO⊥MN，
∴∠EON=∠MZN=90°，
∵∠ENO=∠MNZ，
∴△ENO∽△MNZ，
∴
=
，
∴
=
，
∴ZN=
，
∴NP=2ZN=
，
即所有满足条件NP的长是2
或2
或
．
∴∠ACB=∠ABC=67.5°，
∴∠CAB=180°-67.5°-67.5°=45°，
∵△ABD和△ABC关于AB所在的直线对称，
∴∠DAB=∠CAB=45°，
∴∠CAD=45°+45°=90°．
（2）由（1）知：AN⊥AM，
∵点M、N关于AB所在直线对称，
∴AM=AN，
∵CM=x，
∴AN=AM=4-x，
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴S=-
| 1 |
| 2 |
∴当x=-
| 2 | ||
2×(-
|
（3）∵CE⊥AC，
∴∠ECA=90°，
∵∠CAB=45°，
∴∠CEA=∠EAC=45°，
∴CE=AC=4，
在Rt△ECA中，AC=EC=4，由勾股定理得：EA=
| 42+42 |
| 2 |
∵AM=AN，∠CAB=∠DAB，
∴AO⊥MN，MO=NO，
在Rt△MAN中，AM=AN=4-2=2，由勾股定理得：MN=
| 22+22 |
| 2 |
∴MO=NO=
| 2 |
由勾股定理得：AO=
22-(
|
| 2 |
∴EO=4
| 2 |
| 2 |
| 2 |
在Rt△EON中，EO=3
| 2 |
| 2 |
(3
|
| 5 |
分为三种情况：①当以MN为对角线时，此时P在E上，即NP=NE=2
| 5 |
②以MN为一边时，以N为圆心，以MN为半径画弧交NE于P，
此时NP=MN=2
| 2 |
③以MN为一边时，
过M作MZ⊥NE于Z，则PZ=NZ，
∵AO⊥MN，
∴∠EON=∠MZN=90°，
∵∠ENO=∠MNZ，
∴△ENO∽△MNZ，
∴
| EN |
| MN |
| NO |
| ZN |
∴
2
| ||
2
|
| ||
| ZN |
∴ZN=
| 2 |
| 5 |
| 5 |
∴NP=2ZN=
| 4 |
| 5 |
| 5 |
即所有满足条件NP的长是2
| 5 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| 5 |
点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，轴对称性质，菱形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
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