Question

（2013•济南）如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（6，0），点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F．
（1）求直线BD的函数表达式；
（2）求线段OF的长；
（3）连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据△OBC是等边三角形，可得∠OBC=60°，在Rt△PBD中，解得OD的长度，得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式即可；
（2）分别求出∠BAE和∠AFO的度数，即可得出OF=OA=2．
（3）在Rt△ABE中，先求出BE，继而得出CE=OF，证明△COE≌△OBF，可得BF和OE的数量关系．

解答：解：（1）∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，OC=BC=0B，
∵点B的坐标为（6，0），
∴OB=6，
在Rt△OBD中，∠OBC=60°，OB=6，
∴∠ODB=30°，
∴BD=12，
∴OD=

122-62

=6

3

，
∴点D的坐标为（0，6

3

），
设直线BD的解析式为y=kx+b，则可得

6k+b=0 b=6 3

，
解得：

k=- 3 b=6 3

，
∴直线BD的函数解析式为y=-

3

x+6

3

．
（2）∵∠OCB=60°，∠CEF=90°，
∴∠CFE=30°，
∴∠AFO=30°（对顶角相等），
又∵∠OBC=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，
∴∠BAE=∠AFO，
∴OF=OA=2．
（3）连接BF，OE，如图所示：
∵A（-2，0），B（6，0），
∴AB=8，
在Rt△ABE中，∠ABE=60°，AB=8，
∴BE=ABcos∠ABE=4，
∴CE=BC-BE=2，
∴OF=CE=2，
在△COE和△OBF中，

CE=OF ∠OCE=∠BOF=60° CO=OB

，
∴△COE≌△OBF（SAS），
∴OE=BF．

点评：本题考查了一次函数的综合，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法及数形结合思想的运用，对于此类综合性较强的题目，要求同学们具有扎实的基本功，熟练掌握学过的性质定理及常见解题方法．