Question

9．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．

Answer 1

分析 利用CA=CB=CO可判断△OBC和△OAC都是等边三角形，则∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，根据圆周角定理得∠ADB=60°，即∠ACD=∠BCD=∠ADB，所以$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$=$\widehat{AB}$，然后根据圆心角、弧、弦的关系易得AD=BD=BA．

解答 证明：∵CA=CB=CO，
∴OB=BC=OC=OA=AC，
∴△OBC和△OAC都是等边三角形，
∴∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ADB=60°，
∴∠ACD=∠BCD=∠ADB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$=$\widehat{AB}$，
∴AD=BD=BA．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．