题目内容
如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是分析：根据正三角形的内心和外心重合，则每后一个正三角形的边长是前一个正三角形的外接圆的半径，它们的边长比是
．再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，得每后一个正三角形的面积是前一个正三角形的面积的
，所以要求的正三角形的面积是
．
| ||
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 32009 |
解答：
解：如图；
Rt△O1BD中，∠O1BD=30°；
∴
=cos30°=
；
∴
=
=
，
∴S△O1BP1=
S△ABC=
；
同理可求得S△O2BP2=
S△O1BP1=
×
S△ABC=（
）2×8；
依此类推，S△OnBPn=（
）n×8=
；
当n=2009时，△O2009BP2009的面积是
．
解：如图；Rt△O1BD中，∠O1BD=30°；
∴
| BD |
| O1B |
| ||
| 2 |
∴
| BC |
| O1B |
| 2BD |
| O1B |
| 3 |
∴S△O1BP1=
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 3 |
同理可求得S△O2BP2=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
依此类推，S△OnBPn=（
| 1 |
| 3 |
| 8 |
| 3n |
当n=2009时，△O2009BP2009的面积是
| 8 |
| 32009 |
点评：解答此类题一般要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．
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