Question

如图，在Rt△OAB中，∠A=90°，∠ABO=30°，OB=，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、G、D。

（1）求点G的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在直线CD上和平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q得坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵DC是AB垂直平分线，OA垂直AB， ∴G点为OB的中点 ∵ ∴。
（2）过点C作CH⊥x轴于点H 在Rt△ABO中，∠ABO=30°， ∴ 即 又∵CD垂直平分AB ∴BC=2， 在Rt△CBH中，CH=BC=1， ∴ ∴ ∵∠DGO=60° ∴ ∴ ∴D（0，4） 设直线CD的解析式为：y=kx+b 则 解得 ∴。
（3）存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形 ①如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形 设QP交x轴于点E，在Rt△OEP中，OP=4，∠OPE=30° ∴OE=2， ∴
②如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形， 延长QP交x轴于点F，在Rt△POF中，OP=4，∠FPO=30° ∴ ∴ ∴
③如图，当PD=DQ=QO=OP=时，四边形DOPQ为菱形， 在Rt△DQM中，∠MDQ=30°， ∴ ∴。
④如图，当OD=DQ=QP=OP=4时，四边形DOPQ为菱形， 设PQ交x轴于点N，此时∠OQP=∠ODQ=30° 在Rt△ONQ中， ∴ ∴ 综上所述，满足条件的点Q共有四点：，（，-2）。