Question

2．已知关于x的一元二次方程（n+1）（n+2）x²+x-n（n+3）=0的两个实数根分别a_n，b_n（n∈N₊），则a₁a₂…a₂₀₀₉•b₁b₂…b₂₀₀₉的值是-$\frac{1006}{3015}$．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系求出a_n•b_n=-$\frac{n（n+3）}{（n+1）（n+2）}$，再把相应的值代入，然后进行约分即可．

解答 解：∵关于x的一元二次方程（n+1）（n+2）x²+x-n（n+3）=0的两个实数根分别a_n，b_n（n∈N₊），
∴a_n•b_n=-$\frac{n（n+3）}{（n+1）（n+2）}$，
∴a₁a₂…a₂₀₀₉•b₁b₂…b₂₀₀₉=a₁b₁a₂b₂…a₂₀₀₉b₂₀₀₉=-$\frac{1×4}{2×3}$×$\frac{2×5}{3×4}$×$\frac{3×6}{4×5}$…×$\frac{2009×2012}{2010×2011}$=-$\frac{1006}{3015}$；
故答案为：-$\frac{1006}{3015}$．

点评 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出规律，得出a_nb_n=-$\frac{n（n+3）}{（n+1）（n+2）}$．