Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点，其中点的坐标是，点的坐标是，抛物线的顶点为点．

（1）求抛物线和直线的解析式．

（2）若点是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．

（3）若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以，，，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为，此时点P(，)；（3）能，(0，1)，(，)或(，)

【解析】

（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；

（2）设点P(m，-m2-2m+3)，则Q(m，-m+1)，求出PQ的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；

（3）根据题意，设点M(t，-t+1)，则点N(t，-t2-2t+3)，可分为两种情况进行①当点M在线段AC上时，点N在点M上方；②当点M在线段AC（或CA）延长线上时，点N在点M下方；分别求出点M的坐标即可．

解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(1，0)，C(-2，3)，

∴解得：

∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．

设直线AC的解析式为y=kx+n．

将点A，C坐标代入，得

解得

∴直线AC的解析式为y=-x+1．

（2）过点P作PQ∥y轴交AC于点Q．

设点P(m，-m2-2m+3)，则Q(m，-m+1)．

∴PQ=(-m2-2m+3)-(-m+1)=-m2-m+2．

∴S△APC=S△PCQ+S△APQ=PQ·(xA-xC)=(-m2-m+2)×3=．

∴当m=时，S△APC最大，最大值为，此时点P(，)．

（3）能．

∵y=-x2-2x+3，点D为顶点，

∴点D(-1，4)，

令x=-1时，y=-（-1）+1=2，

∴点E(-1，2)．

∵MN∥DE，

∴当MN=DE=2时，以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

∵点M在直线AC上，点N在抛物线上，

∴设点M(t，-t+1)，则点N(t，-t2-2t+3)．

①当点M在线段AC上时，点N在点M上方，则

MN=(-t2-2t+3)-(-t+1)=-t2-t+2．

∴-t2-t+2=2，

解得：t=0或t=-1（舍去）．

∴此时点M的坐标为（0，1）．

②当点M在线段AC（或CA）延长线上时，点N在点M下方，则

MN=(-t+1)-(-t2-2t+3)=t2+t-2．

∴t2+t-2=2，

解得：t=或t=．

∴此时点M的坐标为（，）或（，）．

综上所述，满足条件的点M的坐标为：（0，1），（，）或（，）．