Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由见解析

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，

∴∠ABE＝∠CDF，

∵点E，F分别为OB，OD的中点，

∴BE＝OB，DF＝OD，

∴BE＝DF，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：

∵AC＝2OA，AC＝2AB，

∴AB＝OA，

∵E是OB的中点，

∴AG⊥OB，

∴∠OEG＝90°，

同理：CF⊥OD，

∴AG∥CF，

∴EG∥CF，

∵EG＝AE，OA＝OC，

∴OE是△ACG的中位线，

∴OE∥CG，

∴EF∥CG，

∴四边形EGCF是平行四边形，

∵∠OEG＝90

∴四边形EGCF是矩形．