Question

19．如图1，BP、CP是△ABC中∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=50°，可知∠P=115°；如图2的四边形ABCD，BP、CP仍然是∠ABC、∠BCD的角平分线，猜想∠BPC与∠A，∠D有何数量关系∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠ADC．

Answer 1

分析 根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；
延长BA、CD相交于点E．根据已知的结论，得∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠BEC．结合三角形的外角的性质，得∠E=∠BAD-∠ADE=∠BAD-（180°-∠ADC），再进一步代入化简即可．

解答 解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于P，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×130°=65°，
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-65°=115°．
如图2，延长BA、CD相交于点E．

根据已知的结论，得∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠BEC．
又∠E=∠BAD-∠ADE=∠BAD-（180°-∠ADC）．
∴∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAD-90°+$\frac{1}{2}$∠ADC．
即∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠ADC．
故答案为：115°，∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠ADC．

点评 本题考查了多边形的内角与外角，解决此题的时候，注意构造三角形，直接运用已知的结论，再进一步利用三角形的外角的性质进行转换．