Question

已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，作∠DCE=∠ACD，交AD的延长线于点E，点F是点C关于直线AE的对称点，连接AF．
（1）求证：CE=AF；
（2）若CD=1，AD=

3

，且∠B=20°，求∠BAF的度数．

Answer 1

考点：勾股定理,轴对称的性质

专题：

分析：（1）由于∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，根据等腰三角形的判定方法得到△ACE为等腰三角形，则AC=CE，由点F是点C关于AE的对称点，根据对称的性质得到AD垂直平分FC，则AF=AC，则CE=AF；
（2）在Rt△ACD中，根据勾股定理得到：AC=

AD2+CD2

=2，所以CD=

1

2

AC，故∠DAC=30°；同理可得∠DAF=30°，所以∠BAF=90°-∠B-∠DAF=40°．

解答：（1）证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AC=CE，
又∵点F是点C关于AE的对称点，
∴AF=AC，
∴CE=AF；

（2）解：在Rt△ACD中，CD=1，AD=

3

，根据勾股定理得到：AC=

AD2+CD2

=2，
∴CD=

1

2

AC，
∴∠DAC=30°．
同理可得∠DAF=30°，
在Rt△ABD中，∠B=20°，
∴∠BAF=90°-∠B-∠DAF=40°．

点评：本题考查了勾股定理，轴对称的性质．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．