Question

（本题满分10分）如图①，在平面直角坐标系中，直线的位置随b的不同取值而变化．

（1）已知⊙M的圆心坐标为（4，2），半径为2，

当b= 时，直线经过圆心M ；

当b= 时，直线与 ⊙M相切；

（2）若把⊙M换成矩形ABCD，如图②，其三个顶点的坐标分别为：A（2,0）,B（6,0）,C（6,2） ．设直线l扫过矩形ABCD的面积为S，当b由小到大变化时，请求出S与b的函数关系式．

 

Answer 1

（1）10；

（2）

【解析】

试题分析：（1）由待定系数法可以代入求结果．

（2）求出直线经过点A、B、C、D四点时b的值，从而分0≤b≤4，4＜b≤6，6＜b≤12，12＜b≤14，

b＞14五种情况分别讨论即可．

试题解析：（1）①∵直线y=－2x＋b （b≥0）经过圆心M（4，2），

∴2=－2×4＋b，解得b=10．

②如图，作点M垂直于直线y=－2x＋b于点P，过点

P作PH∥x轴，过点M作MH⊥PH，二者交于点H。设直线y=－2x＋b与x，y轴分别交于点A，B

则由△OAB∽△HMP，得

∴可设直线MP的解析式为y=x+

由M（4，2），得2=×4+，解得=0

∴直线MP的解析式为y=x

联立y=－2x＋b和y=x，解得x=b,y=b

∴P（b, b）

由PM=2，勾股定理得， ，化简得

解得b=

（2）由A（2，0）、B（6，0）、C（6，2），根据矩形的性质，得D（2，2）

如图，当直线经过A（2，0）时，b=4；当直线经过D（2，2）时，b=6；当直线经过B（6，0）时，b=12；当直线经过C（6，2）时，b=14

当0≤b≤4时，直线扫过矩形ABCD的面积S为0

当4＜b≤6时，直线扫过矩形ABCD的面积S为△EFA的面积（如图1），

在 y=－2x＋b中，令x=2，得y=－4＋b，则E（2，－4＋b）

令y=0，即－2x＋b=0，解得x=，则F（，0）

∴AF=-2，AE=－4＋b

∴S=

当6＜b≤12时，直线扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如图2），

在 y=－2x＋b中，令y=0，得x=，则G（，0）

令y=2，即－2x＋b=2，解得x=-1，则H（-1，2）

∴DH=-3，AG=-2,AD=2

∴S=

当12＜b≤14时，直线扫过矩形ABCD的面积S为五边形DMNBA的面积=矩形ABCD的面积－△CMN的面积（如图3）

在 y=－2x＋b中，令y=2，即－2x＋b=2，解得x=-1，则M（-1，0）

令x=6，得y=－12＋b，，则N（6，－12＋b）

∴MC=7-，NC=14－b

∴S==．

当b＞14时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为矩形ABCD的面积，面积为民8．

综上所述。S与b的函数关系式为：

．

考点：直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质