Question

如图，⊙O的弦AB和CD相交于K，过弦AB、CD的两端的切线分别相交于P、Q，求证：OK⊥PQ．

Answer 1

证明：连接OP、OQ，分别交AB．CD于点M、N，再连接OA、OD、MN，并延长OK交PQ于H
∵PA、PB切⊙O于点A、B
∴OA⊥PA，OP⊥AB
∴OA²=OM•OP
同理OD²=ON•OQ
∵OA=OD∴OM•OP=ON•OQ
∴∠OMN=∠OQP
∵∠OMB=∠ONK=90°
∴∠OMB+∠ONK=180°
∴∠OMN=∠OKN∠OKN=∠OQP，
∴∠OMN=∠OKN∠OKN=∠OHQ=90°
∴OH⊥PQ
即OK⊥PQ
分析：此题关键是作出辅助线，证明OK⊥PQ，所以首先延长OK交PQ于H，其余几条都是常用辅助线，再利用四点共圆可以解决．
点评：此题主要考查了四点共圆的判定方法，以及常用辅助线的作法，综合性比较强．