题目内容

5、证明：当n＞2时，n与n！之间一定有一个质数．
分析：用（a，b）表示自然数a，b的最大公约数，如果（a，b）=1，那么a，b称为互质（互素），所以（n！，n！-1）=1．
解答：证明：首先，相邻的两个自然数是互质的．这是因为（a，a-1）=（a，1）=1，
于是有（n！，n！-1）=1，
由于不超过n的自然数都是n！的约数，
所以不超过n的自然数都与n！-1互质（否则，n！与n！-1不互质），于是n！-1的质约数p一定大于n，即n＜p≤n！-1＜n！，
所以，在n与n！之间一定有一个质数．
点评：本题主要考查了质数与合数的概念，在解题时，首先要明确相邻的两个自然数是互质的．
练习册系列答案
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17、已知y1=ax2+bx+c，y2=ax+b．（其中a＞0），若当-1≤x≤1时，总有|y1|≤1．
（1）证明：当-1≤x≤1时，|c|≤1；
（2）若当-1≤x≤1时，y2的最大值为2．求y1的表达式．
证明：当a是奇数时，a（a2-1）能被24整除．
（1）求证：817-279-913能被45整除；
（2）证明：当n为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差；
（3）计算：
(24+
1
4
)(44+
1
4
)(64+
1
4
)(84+
1
4
)(104+
1
4
)
(14+
1
4
)(34+
1
4
)(54+
1
4
)(74+
1
4
)(94+
1
4
)
．
（2012•拱墅区二模）已知二次函数y=-x2+4mx-8m+4：
（1）证明：当m为整数时，抛物线y=-x2+4mx-8m+4与x轴交点的横坐标均为整数；
（2）以抛物线y=-x2+4mx-8m+4的顶点A为等腰Rt△的直角顶点，作该抛物线的内接等腰Rt△ABC（B、C两点在抛物线上），求Rt△ABC的面积（图中给出的是m取某一值时的示意图）；
（3）若抛物线y=-x2+4mx-8m+4与直线y=7交点的横坐标均为整数，求整数m的值．

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