Question

证明：当a是奇数时，a（a²-1）能被24整除．

Answer 1

分析：设a=2n-1，从而转化为n（n-1）（2n-1）能被6整除，然后分步证明n（n-1）（2n-1）能被2整除也能被3整除即可．

解答：证明：设a=2n-1，则a（a²-1）=（2n-1）（2n-2）2n，
∴

a(a2-1)

24

=

(2n-1)(n-1)n

6

，
∴只需证明n（n-1）（2n-1）能被6整除即可，
∵n和n-1必是一奇一偶，
∴n（n-1）必能被2整除，
设n=3k，则n能被3整除，
设n=3k+1，则n-1能被3整除，
设n=3k+2，则2n-1=6k+4-1=6k+3能被3整除，
所以n（n-1）（2n-1）能被3整除，
∴n（n-1）（2n-1）能被6整除．
综上证明可得a（a²-1）能被24整除．

点评：本题考查数的整除性问题，难度较大，关键是分步证明，这种思想在证明整除的时候经常用到，注意理解并熟练掌握．