Question

20．在四边形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．
（1）试说明：DE=DF；
（2）在图中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论；
（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°-α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．

Answer 1

分析 （1）首先判断出∠C=∠DBF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△CDE≌△BDF，即可判断出DE=DF．
（2）猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG．首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABD≌△ACD，即可判断出∠BDA=∠CDA=60°；然后根据∠EDG=60°，可得∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，再根据∠CDE=∠BDF，判断出∠EDG=∠FDG，据此推得△DEG≌△DFG，所以EG=FG，最后根据CE=BF，判断出CE+BG=EG即可．
（3）根据（2）的证明过程，要使CE+BG=EG仍然成立，则∠EDG=∠BDA=∠CDA=$\frac{1}{2}$∠CDB，即∠EDG=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，据此解答即可．

解答 （1）证明：
∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°，
∴∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°，
又∵∠DBF+∠ABD=180°，
∴∠C=∠DBF，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{∠C=∠DBF}\\{CE=BF}\end{array}\right.$（SAS）
∴△CDE≌△BDF，
∴DE=DF．

（2）解：如图1，连接AD，
猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG．
证明：在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{BD=CD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$（SSS）
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BDA=∠CDA=$\frac{1}{2}$∠CDB=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
又∵∠EDG=60°，
∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，
由（1），可得△CDE≌△BDF，
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠BDG+∠BDF=60°，
即∠FDG=60°，
∴∠EDG=∠FDG，
在△DEG和△DFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠EDG=∠FDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△DFG，
∴EG=FG，
又∵CE=BF，FG=BF+BG，
∴CE+BG=EG；

（3）解：要使CE+BG=EG仍然成立，
则∠EDG=∠BDA=∠CDA=$\frac{1}{2}$∠CDB，
即∠EDG=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴当∠EDG=90°-$\frac{1}{2}$α时，CE+BG=EG仍然成立．

点评 本题综合考查了全等三角形的性质和判定，此题是一道综合性比较强的题目，有一定的难度，能根据题意推出规律是解此题的关键．