Question

（2012•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，A为第一象限内的双曲线y=

k1

x

（k₁＞0）上一点，点A
的横坐标为1，过点A作平行于 y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线y=

k2

x

（k₂＜0）交于点C．x轴上一点D（m，0）位于直线AC右侧，AD的中点为E．
（1）当m=4时，求△ACD的面积（用含k₁，k₂的代数式表示）；
（2）若点E恰好在双曲线y=

k1

x

（k₁＞0）上，求m的值；
（3）设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当点D的坐标为D（2，0）时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k₁的值，并直接写出线段CF的长．

Answer 1

分析：（1）由于A、C的横坐标相同，则AC的长即为A、C的纵坐标之差，根据m=4，可求出BD的长，进而的得出三角形的面积；
（2）作EG⊥x轴于点G，判断出△DEG∽△DAB，再根据A，B，D三点的坐标分别为A（1，k₁），B（1，0），D（m，0），以及G为BD的中点，求出E的表达式，代入反比例函数解析式，即可求出m的值；
（3）根据S_△BDF=1，求出OF=2，将点B，点E的坐标分别代入解析式，求出直线BE的解析式为y=k₁x-k₁．再求出AD的解析式，根据平行直线的性质求出FC的解析式，得到C点作标，从而求出F从的坐标．

解答：解：（1）由题意得A，C两点的坐标分别为A（1，k₁），C（1，k₂）．（如图1）
∵k₁＞0，k₂＜0，
∴点A在第一象限，点C在第四象限，AC=k₁-k₂．
当m=4时，S△ACD=

1

2

AC•BD=

3

2

(k1-k2)．

（2）作EG⊥x轴于点G．（如图2）
∵EG∥AB，AD的中点为E，
∴△DEG∽△DAB，

EG

AB

=

DG

DB

=

DE

DA

=

1

2

，G为BD的中点．
∵A，B，D三点的坐标分别为A（1，k₁），B（1，0），D（m，0），
∴EG=

AB

2

=

k1

2

，BG=

BD

2

=

m-1

2

，OG=OB+BG=

m+1

2

．
∴点E的坐标为E(

m+1

2

，

k1

2

)．
∵点E恰好在双曲线y=

k1

x

上，
∴

m+1

2

•

k1

2

=k1．①
∵k₁＞0，
∴方程①可化为

m+1

4

=1，
解得m=3．

（3）当点D的坐标为D（2，0）时，由（2）可知点E的坐标为E(

3

2

，

k1

2

)．（如图3）
∵S_△BDF=1，
∴S△BDF=

1

2

BD•OF=

1

2

OF=1．
∴OF=2． 
设直线BE的解析式为y=ax+b（a≠0）．
∵点B，点E的坐标分别为B（1，0），E(

3

2

，

k1

2

)，
∴

a+b=0 3a 2 +b= k1 2 .

解得 a=k₁，b=-k₁．
∴直线BE的解析式为y=k₁x-k₁．
∵线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，k₁＞0，
∴点F的坐标为F（0，-k₁），OF=k₁．
∴k₁=2．
∵A点坐标为（1，2），D点坐标为（2，0），
∴设一次函数解析式为y=kx+b，
将A（1，2），D（2，0）分别代入解析式得，

k+b=2 2k+b=0

，
解得

k=-2 b=4

，
故函数解析式为y=-2x+4，
又∵AD∥FC，
设FC的解析式为y=-2x+c，
将F（0，-2）代入解析式得，c=-2，
故函数解析式为y=-2x-2．
当x=1时，k₂=-4．
C点坐标为（1，-4），
故线段CF=

12+(-4+2)2

=

5

．

点评：本题考查了反比例函数的相关问题，涉及图形与坐标的关系、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式等知识，综合性很强，要认真对待．