Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC=4，BD=5，求

AD

AO

的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD，证明OD⊥BD．转证∠ADO+∠CDB=90°．因为∠ADO=∠A=∠CBD，∠CBD+∠CDB=90°，所以得证；
（2）连接DE，先证明△BCD∽△ADE，得对应边成比例求解．

解答：（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
∵∠CBD=∠A，
∴∠CDB+∠ADO=90°，
∴∠ODB=90°，
∴BD与⊙O相切；

（2）解：连接DE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°．
∵∠CBD=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△BCD，
∴AD：AE=BC：BD．
∵BC=4，BD=5，
∴AD：AE=4：5．
∵2AO=AE，
∴

AD

OA

=

8

5

．

点评：此题考查切线的判定和相似三角形的判定及性质，属常规题，难度不大，作出辅助线构建等腰三角形和直角三角形是解题的关键．