Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．

（1）求点N落在BD上时t的值；

（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；

（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；

（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2＜t＜ ;（3）见解析; （4）t的值为 、 、 ．

【解析】

试题（1）根据条件证明△DPN∽△DQB然后利用对应边成比例得出关于t的方程，解方程即可；（2）只需考虑求出两个临界位置①MN经过点O，②点P与点O重合下t的值即可；（3）①分0＜t，＜t≤6，6＜t≤11三种情况讨论，根据图形面积公式或和差关系即可用t表示出面积s；②因为点P在折线AD-DO运动，所以可分点P在AD上，点P在DO上，两种情况讨论．

试题解析：（1）当点N落在BD上时，

∵四边形PQMN是正方形，∴PN∥QM，PN＝PQ＝t．

∴△DPN∽△DQB．∴．

∵PN＝PQ＝PA＝t，DP＝6﹣t，QB＝AB＝8，∴．∴t＝

∴当t＝时，点N落在BD上． （2分）

（2）当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是4＜t＜11（5分）

（3）①当0＜t时，如图4．

S＝S正方形PQMN＝PQ2＝PA2＝t2．

当＜t≤6时，如图5，

∵tan∠ADB＝＝，∴＝．∴PG＝8﹣t．

∴GN＝PN﹣PG＝t﹣（8﹣t）＝﹣8．

∵tan∠NFG＝tan∠ADB＝，∴．

∴NF＝GN＝（﹣8）＝t﹣6．

∴S＝S正方形PQMN﹣S△GNF＝t2﹣×（﹣8）×（t﹣6）

＝﹣t2＋14t﹣24．

当6＜t≤11时，如图6，

∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．

∴∠PQM＝∠DAB＝90°．∴PQ∥AD．∴△BQP∽△BAD．

∴＝＝．∵BP＝16﹣t，BD＝10，BA＝8，AD＝6，

∴．∴BQ＝，PQ＝．

∴QM＝PQ＝．∴BM＝BQ﹣QM＝．

∵tan∠ABD＝，∴FM＝BM＝．

∴S＝S梯形PQMF＝（PQ＋FM）QM＝[＋]

＝（16﹣t）2＝t2－

综上所述：当0＜t≤时，S＝t2．

当＜t≤6时，S＝﹣t2＋14t﹣24．

当6＜t≤11时，S＝t2－

②当直线DN平分△BCD面积时，t的值为、