Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，点M为AB边上一点，AM＝4，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长度为_____．

Answer 1

【答案】4或10﹣2．

【解析】

分两种情况：①当点在菱形对角线上时，由折叠的性质得：，，证出，得出；

②当点在菱形对角线上时，设，由折叠的性质得：，，，求出，证明，得出比例线段，可求出答案

解：分两种情况：①当点P在菱形对角线AC上时，如图1所示：

由折叠的性质得：AN＝PN，AM＝PM，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

∴∠PAM＝∠PAN＝30°，

∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣30°＝60°，

∴AN＝AM＝4；

②当点P在菱形对角线BD上时，如图2所示：

设AN＝x，

由折叠的性质得：PM＝AM＝4，PN＝AN＝x，∠MPN＝∠A＝60°，

∵AB＝6，

∴BM＝AB﹣AM＝2，

∵四边形ABCD是菱形，

，，

∵∠BPN＝∠BPM+60°＝∠DNP+60°，

∴∠BPM＝∠DNP，

∴△PDN∽△MBP，

，即，

，

，

解得：或（不合题意舍去），

综上所述，的长为4或．

故答案为：4或．