Question

【题目】（材料阅读）:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图中的）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角的大小是变化的．

（实际应用）:观测点在图1所示的上，现在利用这个工具尺在点处测得为，在点所在子午线往北的另一个观测点，用同样的工具尺测得为．是的直径，．

（1）求的度数；

（2）已知km，求这两个观测点之间的距离即上的长．（取）

Answer 1

【答案】（1）；（2）（km）．

【解析】

（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，则∠DHC=67°，证出∠HBD=∠DHC=67°，由平行线的性质得出∠BEO=∠HBD=67°，由直角三角形的性质得出∠BOE=23°，得出∠POB=90°-23°=67°；

（2）同（1）可证∠POA=31°，求出∠AOB=∠POB-∠POA=36°，由弧长公式即可得出结果．

（1）设点的切线交延长线于点，于，交于点，如图所示：

则，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）同（1）可证，

，

（km）．